【微分の意味】「平均変化率」と「微分」はどう違うの?結局微分って何?

平均変化率

 高校の数学で微分を学習し始めるとき

決まって最初に「平均変化率」の学習を行います。

「平均変化率」というのは、y=f(x)という関数において、yの変化量f(b)ーf(a)の、xの変化量b-aに対する割合を言います。

わかりやすい言い方をすると、xがaからbに増加する間にyがf(a)からf(b)まで増加するときの「変化の割合」と同じものです。

「変化の割合」は中学校で比例、一次関数、二次関数でずっと登場してくるアイテムなので数学が苦手でない場合には「ああ、あれか!」とピンとくるものだと思います。

簡単に言えば言い方を変えているだけで、yの変化量がyの増加量のことであり、xの変化量がxの増加量のことです。

 この場合グラフ平面上で考えると、二つの離れた座標を通る曲線がある場合には

その二点を直線で結び、その「傾き」を計算したものが「平均変化率」であり「変化の割合」だと言うことができます。

 おそらく最初から微分の内容に入ると難しいので、その前提でこの平均変化率を学習する流れになっているのですが、

 何年か前に、まだ共通テストがなく大学入試センター試験が実施されいた頃、突然平均変化率の問題が正面から出題されて、微積分を繰り返して学習していた受験生が動揺したという事がありました。

何事も基礎の考え方をしっかりつかんでおくことが大切だという例になるかと思いますが、かなりの受験生が正答を出せなかったという記憶があります。

微分とは

 では微分とは何でしょうか。

普通教科書には、大変難しい事が冒頭に書いてあります。

微分とは、関数f(x)の導関数f′(x)を求めることである。そして導関数f′(x)の定義は f’(x)=lim(h→0) {(f(x+h)ーf(x))/h } である。

昔初めて微分を勉強した時、どこを探しても「微分とは何か」が簡単に書いてなくて、これしか出ていなかったので驚いたのを思い出します。

しかしこの言葉に微分のすべてが実は凝縮されているのです。

ただ、初学者へ向けていきなりこれはないと思ったりもします。

 グラフ上の計算の意味については、こんな難しい事を言わなくても、やるべき事の効果から簡単に一言で言い表すことができます。

「微分」とは曲線の「接線の傾き」をその点で正確に示す「微分係数」を求めるための作業です。

*正確にはそのための手段の導関数を導く事自体が「微分」です。

そして物理学的に言えば

「平均変化率」は平均の速度であり、「微分」で求められるのは「瞬間の速度」ということになりますが、

話が広がりすぎてしまうので、今回は「傾き」の話にとどめておきます。

微分係数

 微分係数と言うのは、導関数に特定の数値を当てはめて出された定数です。

簡単に言うと、微分の結果の具体的な点における接線の傾きの数値ということです。

f’(a)=lim(h→0) {(f(a+h)ーf(a))/h }  これが座標(a,f(a))における微分係数であり接線の傾きになります。

 たぶんここでかなり混乱する人が多いと思うので、さらに詳しく説明すると

①まず導関数という関数があります。これは微分係数を算出するのに必要な関数でその正体がf’(x)=lim(h→0) {(f(x+h)ーf(x))/h } です。この導関数を出すことが微分です。

②この公式にたとえばf(x)=ーx+xというような関数を当てはめて計算して導関数を出します。計算過程は省きますがそれによってf’(x)=ー2x+1という導関数が計算できます。

③平面上の座標には具体的に(2,3)とか言った数値があります。だからこの導関数にx=2を代入すると f’(x)はf’(2)となり、具体的に数値が出ます

f’(2)=ー2×2+1になるためf’(2)=ー3となります。

こうして座標(2,3)におけるこの曲線f(x)=ーx+xの接線の傾きはー3であるとわかるという仕組みです。

この導かれたf’(2)=ー3が微分係数と言われる数値ということになるのです。

だから微分は導関数を通して最終的に微分係数を出すものなのですが

話を混乱させてしまうのは、「微分=導関数を出すこと」であるために

みんなが一番知りたい、「何のためにあってどんな事がわかるの?」という事が

どこにも正面から書いてないことにあります。

 だから改めて正面から書きます。

微分をすることで(平面上では)曲線の接線の傾きを出すことができるのです。

こういう風に簡単に書くことは実は大変重要で

たとえば積分についても、同様に簡単にいえば「平面や立体の面積や体積が曲線を含んでいても一発で計算できる方法」と言い表すことができ、学習の目印になるかと思います。

平均変化率とはどう違う?

 このように考えてくると平均変化率とどこが違うかという話になりますが

平均変化率は上記のように座標上の2点を直線で結び、その傾きを計算するものでした。

しかし微分の優れているところはさらに進んで

①曲線上の特定の1点を選んで

②その部分の極限まで短い区間での傾きを

正確に表すことができるという点です。

平均変化率が曲線を直線に置き換えてアバウトに傾きを示しているのを

微分では真の数値に近いミクロの世界での傾きを数値化できるという事が違います。

なぜこのようになるのかと言えば、その秘密は上記のlim(h→0)と言う部分にあります。

平均変化率では分母がbーaと言う形で大きな数字であるのを

微分においては分母hが極限まで0に近づいた時のことを想定した式(導関数)が公式化されていために、変化する部分hが極小化した時の傾きが分かる仕組みになっているのです。

このように難しそうな式の背後には実は大きな効率の良い新しい考え方が隠されているのです。

単に導関数や微分係数の式を暗記するだけではもったいないです。

と言うより「自分は何を計算しているの?」ということにもなりかねません。

こういうことをあれこれ考えていく先に

学習の大きな成果と言うものは転がっていると思いませんか?

今後も皆さんのお役に立つ情報をアップしていきます。

  


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