【積分なんて簡単】積分って一体何をするもの?

数学っぽいマーク。カッコいいけれど・・・

 高校の数Ⅱで学習する「積分」は「微分」と並んで高等数学の花形と言ってもいいでしょう。

でも積分も微分と同様に、問題の解き方ばかり勉強していて、一体「それが何であるか」という全体像をつかんでない生徒が実に多いのではないでしょうか。

関数f(x)のaからbまでの「積分(定積分)」は  (a~b)f(x)dx で表される。

こんな事が書かれていて微分同様、いきなり「定義」から始まる場合がほとんどです。

微分を学習した後で積分が出てくるのと、正確な表現ではないですが積分は微分の逆演算的な面が大きいので、実際には割と違和感なく問題は解いていける人が多いようですが、

「それが何であるか」というと、「どうも面積が出せるらしい」という事くらいしか浮かばないのではないかと思います。

 ただ積分の記号である∫(インテグラル)は、Σ(シグマ)と並んで「いかにも数学」っていう感じでカッコいいため、見た目には人気がありそうですね。

だからこそ、その正体を知っておきたいところです。

関数の微細な「分析」を「積み重ねる」

 微分について「結局微分とは何か」という事を以前記事にしましたが

 微分が極小の区間における関数の接線の傾きを「微細に分析する」ものであるのに対して

積分は関数の微細な「分析」を「積み重ねる(積算)」するものだと言えます。

積算を通して関数の一時点での分析がより広い範囲に及ぼされて、それが一つの数値に基づく結果として表現されていくのが「積分」であり、

より広がっていくという点で、極限まで微細に分析がされる微分と反対方向のものだと言えるでしょう。

 ただこういう言葉遊びのようなものでは、結局のところ理解しにくいので

誤解を恐れずに「定積分とは要は何か」と言うときには、

「何ができるものか」からイメージするのが結局一番簡単です。

曲線を含む平面や立体の面積や体積を求めることができる計算

こういう形で頭に入れておくのが一番かと思います。

直線で囲まれた図形や体積であれば、公式などによって計算ができます。

もともとそれも積算ということから考えられてできた公式ではありますが

曲線を含む場合には円や球のような規則性の高い図形でない限り公式が使えません。

ところが積分は、特定の極小の区間における面積を想定して、それを積み重ねるという発想から不規則な曲線であろうとお構いなしに面積や体積の計算に組み込んでしまえるという、素晴らしい発想の計算なのです。

たとえば上記の (a~b)f(x)dx であれば

y=0(x軸)、y=f(x)、x=a、x=b で囲まれた部分の面積を求めることができます。

もちろん積分は面積計算に尽きるもの(初期はそういった理解だったようですが)でもないので「これだけ」でもないのでそこはご注意ください。

 しかし、よくわからないまま解答法をたどっていくような学習は、全体像がつかめないため

一つの大きなキーワードとして「面積」という事を頭に思い描いておくと

積分についてはずっと学習しやすくなるでしょう。

積分の応用問題のほとんどに面積がからんでいるというのはこのようなことが背景になっています。

そしてそういう視点で積分をとらえ直すと、学習はより面白くなるとおもいます。

今後も皆さんのお役に立つ情報をアップしていきます。


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